حرکت اسب

آیا اسب می تواند از گوشه پایین و سمت چپ صفحه معمولی شطرنج خود را به گوشه بالا و سمت راست صفحه برساند به نحوی که از هر خانه ی صفحه شطرنج تنها یک بار عبور کند؟

جواب:
برای این که اسب بتواند از خانه واقع در گوشه چپ و پایین صفحه شطرنج خود را به گوشه راست و بالای صفحه(که روی هم 64 خانه دارد برساند، به نحوی که از هر خانه، درست یک بار عبور کند، باید 63 حرکت انجام دهد. در هر حرکت، اگر اسب در خانه سیاه باشد به خانه سفید می رود و اگر در خانه سفید باشد به خانه سیاه می رود. بنابراین وقتی ک تعداد حرکت های اسب عددی زوح باشد به خانه ای می رسد که همان رنگ خانه ی آغاز حرکت را دارد. ولی اگر تعداد حرکت های اسب عددی فرد باشد، خانه ای را اشغال می کند که رنگ آن با رنگ خانه آغاز حرکت فرق دارد. بنابراین اسب نمی تواند با 63 حرکت خود را به خانه ای برساند که با خانه ی آغاز حرکت در روی یک قطر واقع است زیرا همه خانه های واقع بر یک قطر همرنگ اند.

مربع در مستطیل

در یک صفحه ی شطرنجی 6×5 چند مربع 3×3 دیده می شود؟

جواب:دوازده تا دیگه!

نظر بدهید

نظر دادن شما باعث دلگرمیست و نظر ندادن شما هم باعث دلسردی!
پس نظر بدهید!

سوال چهارم-دانشجوی هشتی

در همکف دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف یک اتاق به نام اتاق فوق برنامه وجود دارد. پس از کسب اجازه از دکتر سیاوش شهشهانی(رئیس دانشکده)  وسط این اتاق یک تیغه کشیده شد تا مسابقه ای در آن برگزار شود. در یک طرف اتاق سه لامپ نصب شد و در طرف دیگر سه کلید که مربوط به این سه لامپ می شدند. با هماهنگی دکتر محمدرضا رزوان(مسئول کمیته المپیاد) از چند سمپادی دعوت شد تا در این مسابقه شرکت کنند(ایشان ابتدا با محدود کردن شرکت کنندگان به سمپادیها مخالف بودند ولی پس از اصرار زیاد دانشجویان مجبور به رضایت شدند).

مسابقه به آن صورت بود که 4 دانشجوی ورودی 88 ، 7 ،6 و 5 انتخاب شدند. به آن ها گفته شد که حق دارند تنها یک بار از قسمت کلیدها به قسمت لامپ ها بروند و باید در این یک بار مشخص کنند کدام کلید مربوط به کدام لامپ است.

در پایان، فقط دانشجوی ورودی 88 که هنوز ذهن پویای خود را از دست نداده بود توانست مسابقه را ببرد.

آیا می توانید روش وی را توضیح دهید؟ البته اگر روش ابداعی خودتان هم باشد قابل قبول است.

جواب. یک کلید را می زنیم و صبر می کنیم پنج دقیقه روشن بماند بعد خاموش می کنیم و کلید بعدی را می زنیم به اتاق لامپ ها می رویم، لامپ داغ مربوط به کلید اول، روشن مربوط به کلید دوم و خاموش مربوط به کلید سوم است.

سوال سوم-در جستجوی مرکز

اینم از اون مسأله های کلاسیک که دلم نیومد نذارم!

یک دانش آموز بعد از شنیدن خبر قبولی خود در آزمون ورودی سمپاد، تصمیم می گیرد برای ثبت نام به مرکز آموزشی برود. او نگاهی به نقشه ی خیابان ها می کند و پس از پیدا کردن آدرس مرکز به سمت آن به راه می افتد. ناگهان به یک دوراهی می رسد و متوجه می شود که فراموش کرده کدام راه به مرکز می رسد. او مطمئن است که یکی از این راه ها قطعاً به مرکز رسیده و دیگری قطعا نمی رسد. ضمنا او می داند که افراد این محله یا سمپادی هستند یا نیستند و می داند که غیر سمپادی ها راه را حتماً اشتباه نشان می دهند(شاید علت روان شناختی این کار آن باشد که از عدم قبولی خود در سمپاد ناراضی اند و بنابراین تصمیم گرفته اند همیشه به سمپادی ها دروغ بگویند).
اما این دانش آموز از آن جا که سمپادی است و هوش سرشاری دارد، فقط با پرسیدن از یک نفر بدون آن که بداند طرف مقابل سمپادی است یا خیر مسیر را پیدا می کند. (بعدها خبردار شدیم که ایشان مدال آور المپیاد شده اند و برق شریف می خوانند!)  این دانش آموز چه پرسیده است؟

جواب: یکی از راه حل ها می تواند این باشد:
دانش آموز یکی از دو راه را نشان می دهد و از اولین نفری که ملاقات می کند می پرسد: اگر بپرسم که این راه به سمت مرکز سمپاد می رود آیا تو پاسخ مثبت می دهی؟
اگر این شخص سمپادی باشد، بسته به این که این راه به مرکز می رود یا نمی رود پاسخ صحیح را می دهد. اگر سمپادی نباشد، به پرسش درونی آیا این راه به سمت مرکز می رود پاسخی دروغ می دهد، ولی چون آدمی دروغ گو است یک بار دیگر دروغ می گوید تا پاسخ خود ر به «پرسش درونی» پنهان کند. بنابراین او هم پاسخ مثبت را در موردی می دهد که راه به سمت مرکز برود و پاسخ منفی را در صورتی که راه به سمت مرکز نرود.
جواب های دیگه ای هم حتمن وجود دارند که من بلد نیستم!

سوال دوم-حلزون بد قلق

درجه سختی: دشوار

اگر از عدد 1 شروع کنیم و در جهت عقربه های ساعت بچرخیم،به یک حلزونی می رسیم. برای مثال، حلزونی زیر یک حلزونی 5×5 است.همان طور که می توان دید، مجموع اعداد قطری که با قرمز نشان داده شده اند، برابر 101 است.

21 22 23 24 25
20  7  8  9 10
19  6  1  2 11
18  5  4  3 12
17 16 15 14 13

مجموع اعداد قطری در یک حلزونی 1001 در 1001 را پیدا کنید.

جواب:669171001

راه حل:گوشه ی بالا و راست n^2 است(در این جا که 5 در 5 است می شود 25) با استدلالی مشابه، معلوم می شود که مجموع 4 گوشه در یک حلزونی n×n برابر 4n²-6n+6 خواهد شد. پس باید مجموع عبارت بالا را برای n از 3 تا 1001 حساب کنیم. این کار از طریق یک برنامه ی ساده ی کامپیوتر قابل انجام است. البته با دست هم قابل محاسبه است: مجموع مربعات اعداد فرد k^2 ضربدر 4 منهای 6 ضربدر مجموع اعداد فرد از 3 تا 1001 بعلاوه شش ضربدر 1001 .که در این میان بقیه ی فرمول ها آسان است ولی مجموع مربعات اعداد فرد کمی سخت تر است که آن هم می شود k(4k²-1)/3 کلا این سوال با کامپیوتر راحت تر حل میشه ولی خوبیش اینه که با دست هم قابل حله و باید آدم ایده بزنه روش.

سوال اول-دردسر خانم احمدی

درجه سختی: تقریبا آسان

شهر تهران به دو بخش ته و ران تقسیم شده است که شماره تلفن های بخش ران 6 رقمی هستند و شماره تلفن های بخش ته 8 رقمی. در اجتماعی از بخش ته گفتگوی زیر جریان داشت:

خانم احمدی: من کار بسیار واجبی با آقای ذکایی دارم و باید شماره تلفن منزل ایشان را پیدا کنم. اما هیچ کس این جا شماره تلفن او را به یاد ندارد. از دفتر راهنمای تلفن هم چیزی نصیب من نشد زیرا وقتی چاپ شده است که آقای ذکایی هنوز به بخش «ران» نرفته بودند.

حاضرین سعی کردند آگاهی های خود را درباره ی شماره ی آقای ذکایی جمع کنند:
آقای جلالی: من به یاد دارم که نیمه ی دوم شماره تلفن آقای ذکایی چهار برابر نیمه ی اول آن است.
خانم ملکی: من مطمئنم که  دو رقم وسط شماره تلفن آقای ذکایی با هم برابر اند. و این را هم می دانم که رقم دوم شماره تلفن، دو برابر رقم اول آن است.
در آخر هم پیرمرد فراموش کاری که خود را همسایه ی آقای ذکایی معرفی می کرد، گفت: رقم سوم شماره ی آقای ذکایی یا دو برابر رقم دوم آن و یا دو واحد بیشتر از رقم دوم آن است.

پیرمرد فراموش کار کمی بعد افزود: این را هم به یاد دارم که یکی از دورقم سوم یا دوم برابر 2 است.
البته حاضرین نتوانستند با این اطلاعات شماره ی آقای ذکایی را پیدا کنند، اما خانم احمدی که دبیر ادبیات مرکز سمپاد «ته» بود، این اطلاعات را به یکی از دانش آموزانش داد و او به آسانی توانست شماره ی آقای ذکایی را پیدا کند.
آیا شما نیز مانند شاگرد خانم احمدی می توانید شماره ی آقای ذکایی را پیدا کنید؟

جواب:
124496
به راحتی با نوشتن معادله و کشیدن درخت برای قسمت پیرمرد حل میشه.