سوال دوم-حلزون بد قلق

درجه سختی: دشوار

اگر از عدد 1 شروع کنیم و در جهت عقربه های ساعت بچرخیم،به یک حلزونی می رسیم. برای مثال، حلزونی زیر یک حلزونی 5×5 است.همان طور که می توان دید، مجموع اعداد قطری که با قرمز نشان داده شده اند، برابر 101 است.

21 22 23 24 25
20  7  8  9 10
19  6  1  2 11
18  5  4  3 12
17 16 15 14 13

مجموع اعداد قطری در یک حلزونی 1001 در 1001 را پیدا کنید.

جواب:669171001

راه حل:گوشه ی بالا و راست n^2 است(در این جا که 5 در 5 است می شود 25) با استدلالی مشابه، معلوم می شود که مجموع 4 گوشه در یک حلزونی n×n برابر 4n²-6n+6 خواهد شد. پس باید مجموع عبارت بالا را برای n از 3 تا 1001 حساب کنیم. این کار از طریق یک برنامه ی ساده ی کامپیوتر قابل انجام است. البته با دست هم قابل محاسبه است: مجموع مربعات اعداد فرد k^2 ضربدر 4 منهای 6 ضربدر مجموع اعداد فرد از 3 تا 1001 بعلاوه شش ضربدر 1001 .که در این میان بقیه ی فرمول ها آسان است ولی مجموع مربعات اعداد فرد کمی سخت تر است که آن هم می شود k(4k²-1)/3 کلا این سوال با کامپیوتر راحت تر حل میشه ولی خوبیش اینه که با دست هم قابل حله و باید آدم ایده بزنه روش.